Égale a Plusieurs Sens

Les mathématiques contiennent de nombreux concepts abstraits souvent difficiles à saisir, mais on supposait que la signification de « égal » était bien comprise. Cependant, il apparaît que les mathématiciens ne s’entendent pas sur la définition exacte de l’égalité, ce qui pourrait poser des défis pour les programmes informatiques de plus en plus utilisés pour vérifier les démonstrations mathématiques.

Ce débat académique dure depuis des décennies, mais il est devenu crucial car les programmes informatiques utilisés pour formaliser ou vérifier les preuves nécessitent des définitions précises et sans ambiguïté, et non des interprétations ouvertes ou contextuelles que les ordinateurs ne possèdent pas.

Le mathématicien britannique Kevin Buzzard de l’Imperial College de Londres a rencontré ce problème en collaborant avec des programmeurs, l’amenant à réévaluer la définition de « égal » pour remettre en question les idées reçues sur l’égalité.

La Révélation de Buzzard sur l’Égalité Mathématique

Buzzard réfléchit dans son préprint sur le serveur arXiv qu’il y a six ans, il croyait comprendre l’égalité mathématique comme un concept bien défini. Cependant, travailler avec des prouveurs de théorèmes informatiques au niveau master lui a révélé que l’égalité est une question plus complexe et épineuse qu’il ne l’avait réalisé.

Le signe égal (=), créé par le mathématicien gallois Robert Recorde en 1557 pour symboliser l’égalité entre des objets, a mis du temps à être accepté. Il a finalement remplacé le terme latin « aequalis » et a ouvert la voie à l’informatique, faisant ses débuts dans le langage de programmation FORTRAN I exactement 400 ans plus tard, en 1957.

Le concept d’égalité remonte à la Grèce antique, mais selon Buzzard, les mathématiciens modernes l’utilisent de manière quelque peu relâchée.

Traditionnellement, les mathématiciens utilisent le signe égal dans les équations pour démontrer que différents objets mathématiques partagent la même valeur ou signification, une relation vérifiée par des transformations. Par exemple, l’entier 2 peut représenter une paire d’objets, tout comme 1 + 1.

L’influence de la théorie des ensembles sur l’égalité

Depuis la fin du 19ème siècle, une autre définition de l’égalité est utilisée, provenant de la théorie des ensembles. Avec le développement de la théorie des ensembles, la notion d’égalité s’est élargie. Par exemple, les mathématiciens peuvent considérer l’ensemble {1, 2, 3} comme égal à l’ensemble {a, b, c} en raison de l’isomorphisme canonique, qui évalue les similitudes structurelles entre les groupes.

Buzzard explique que les mathématiciens ont trouvé pratique d’appeler ces ensembles égaux car ils s’alignent naturellement, comme il l’a indiqué à Alex Wilkins de New Scientist.

Cependant, cette approche de l’égalité, appelée isomorphisme canonique, pose maintenant des problèmes aux mathématiciens qui tentent de formaliser des preuves avec des ordinateurs, affectant même des concepts fondamentaux établis depuis longtemps.

“Aucun des systèmes informatiques existants ne capture comment les mathématiciens comme Grothendieck utilisent le symbole égal”, a déclaré Buzzard à Wilkins, en référence à Alexander Grothendieck, un mathématicien clé du 20ème siècle qui a utilisé la théorie des ensembles pour décrire l’égalité.

Certains mathématiciens proposent de redéfinir les concepts pour équivaloir formellement l’isomorphisme canonique à l’égalité.

Buzzard n’est pas d’accord, exhortant les mathématiciens à réévaluer des concepts fondamentaux tels que l’égalité pour combler l’écart entre leur compréhension et ce que les ordinateurs peuvent traiter.

“Lorsqu’on est contraint de définir clairement ce que l’on entend sans se fier à des termes vagues”, écrit Buzzard, “on doit parfois faire un travail supplémentaire ou repenser la manière dont certaines idées devraient être présentées.”

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Lisez l’article original sur :  Science Alert

Pour en savoir plus :  Mathematical Model of Animal Growth Reveals Life is Defined By Biology, Not Physics