Preuves impossibles du théorème de Pythagore

Ce qui a commencé comme une question bonus dans un concours de mathématiques au lycée a conduit à dix nouvelles preuves étonnantes du célèbre théorème de Pythagore.

Il a longtemps été considéré comme impossible d’utiliser la trigonométrie pour démontrer un théorème qui est fondamental aux principes trigonométriques, car cela crée une fausse logique de raisonnement circulaire en tentant de prouver un concept en utilisant le concept lui-même.

« Il n’existe pas de preuves trigonométriques, car toutes les formules fondamentales de la trigonométrie sont basées sur la validité du théorème de Pythagore », a déclaré le mathématicien Elisha Loomis en 1927.

Ce qui a commencé comme une question bonus dans un concours de mathématiques au lycée a donc abouti à dix nouvelles preuves impressionnantes du théorème de Pythagore.

Le dilemme du raisonnement circulaire dans les preuves trigonométriques.

Cependant, il a longtemps été considéré comme impossible d’utiliser la trigonométrie pour prouver un théorème qui sous-tend les concepts trigonométriques, car cela conduit à une fausse logique de raisonnement circulaire en essayant de valider un concept en utilisant lui-même.

« Il n’existe pas de preuves trigonométriques, car toutes les formules fondamentales de la trigonométrie reposent sur la vérité du théorème de Pythagore », a écrit le mathématicien Elisha Loomis en 1927.

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore explique la relation entre les trois côtés d’un triangle rectangle. Ce théorème est d’une grande valeur en ingénierie et en construction, et il était utilisé des siècles avant d’être formellement associé à Pythagore. Certains soutiennent même qu’il aurait pu être appliqué lors de la construction de Stonehenge.

Ce théorème est un principe fondamental de la trigonométrie, qui se concentre principalement sur les relations entre les côtés et les angles des triangles. Vous vous souvenez probablement de l’équation apprise à l’école : (a^2 + b^2 = c^2).

« Les élèves ne savent peut-être pas que deux versions conflictuelles de la trigonométrie partagent la même terminologie », expliquent Jackson et Johnson.

« Dans une telle situation, comprendre la trigonométrie peut donner l’impression de déchiffrer une image où deux images distinctes se superposent. »

Cependant, en clarifiant ces deux variations liées mais distinctes, Jackson et Johnson ont élaboré de nouvelles solutions en utilisant la loi des sinus, évitant ainsi le raisonnement circulaire direct.

Cependant, Jackson et Johnson détaillent cette méthode dans leur nouvel article, en reconnaissant que la distinction entre les approches trigonométriques et non trigonométriques est quelque peu subjective.

Nouvelles preuves trigonométriques

Ils soulignent également que, selon leur définition, deux autres mathématiciens, J. Zimba et N. Luzia, ont également prouvé le théorème en utilisant la trigonométrie, remettant en question les affirmations précédentes selon lesquelles cela était impossible.

En fait, dans l’une de leurs démonstrations, les deux étudiantes ont poussé la définition des calculs impliquant des triangles à l’extrême en remplissant un grand triangle avec des séquences de triangles plus petits et en utilisant le calcul intégral pour déterminer les mesures des côtés du triangle d’origine.

« Ça ressemble à rien de ce que j’ai jamais rencontré », a déclaré Álvaro Lozano-Robledo, mathématicien à l’Université du Connecticut, dans une interview avec Nikk Ogasa de Science News.

Au total, Jackson et Johnson présentent une preuve pour les triangles rectangles avec deux côtés égaux et quatre preuves supplémentaires pour les triangles rectangles avec des côtés inégaux, laissant au moins cinq autres à « l’explorateur curieux ».

« Avoir un article publié à un si jeune âge est vraiment étonnant », remarque Johnson, qui poursuit actuellement des études en ingénierie environnementale. Jackson étudie la pharmacie.

Pour conclure, « leurs découvertes soulignent le potentiel des nouvelles perspectives des étudiants dans le domaine », déclare Della Dumbaugh, rédactrice en chef de la revue où leur travail est publié.

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Lisez l’article original sur :  Science Alert

Pour en savoir plus :  Quest for Fractionalization in Condensed Matter Physics